I． 一个常规微分方程系统包括一些微分方程，这些方程依赖于其他的方程，例如：
这是个相当简单的例子，它可能通过解析解法或者数值解法求解。通常情况下，解析方法对很多系统都是不可用的。对于线性系统，将这些方程以矩阵的形式改写，如下所示：
具体内容请参阅Gilber Strang的“Introduction to Linear Algebra and Its Application"一书获得详细的信息。
本技术手册着重在于常规微分方程的数值解法。为了用数值解法解决上面方程系统，建立函数定义改变向量y的比率。
function dy=exampleode(t,y)
% function to be integrated
dy=zeros(2,1);
dy(1)=y(1)+y(2);
dy(2)=y(1); % 选择（？Alternatively）
% A=[1 1;1 0]; dy=A*y;
利用MATLAB提供的数值求解器函数，先采用ODE45:
xspan = [0 10]；
ynot = [1 0];
[X,Y]=ode45(@exampleode,xspan,ynot);
这建立了一个时间向量X(或者X的表达式)以及相应的Y向量，简单地说就是在时间X取得Y。在上面的例子中，Y的第一列为u，第二列是v。plot(X,Y):
II． 考虑这个二阶系统
第一步：通过引入向量将这个二阶ODEs变成一阶系统
第二步：将上面的那个方程系统改写成如下
将这在MATLAB中写成如下的形式：
function dy = secondode(x,y)
% function to be integrated
dy = zeros(4,1);
dy(1) = y(2);
dy(2) = -3*y(1)- exp(x)*y(4) + exp(2*x);
dy(3) = y(4);
dy(4) = -y(1) – cos(x)*y(2)+ sin(x);
注意：记得将变量x改成t（它是简单独立变量）。
好，现在用ODE45解这个系统，初始状态 u(0) = 1; u'(0) = 2; v(0) = 3; v'(0) = 4；从x = 0 开始迭代到x = 3 。你需要用到下面的命令：
xspan = [0 3];
y0 = [1;2;3;4];
[x,y] ode45(@secondode,xpan,y0); % y的第一列是关于x的u的值，y的第二列
%是u'的值，如此类推
plot(x,y); legend('u','u’','v','v’'):
III． 考虑下面的方程系统
其中，A,B,C与D是矩阵，y是向量。例如：
你可以降低方程的阶次，采用数值求解。首先定义
这样就可以将（1）式改写为
http://foto.yculblog.com/genial/ode9.JPG.jpg
注意：对于隐含（?implicit）求解器，例如ODE15S,ODE23T和ODE23TB，你可以将A表示成质量矩阵（？mass matrix），这是微分代数方程经常做的。
你可以写成 如下形式。
http://foto.yculblog.com/genial/ode10.JPG.jpg
你可以通过这些来链接ODE45或者另外的ODE求解器来求取数值解。例如，假设矩阵A,B,C,D如下：
可以用ODE45解这个系统如下：
function dy = matrixode(t,y)
% function to be integrated
dy = zeros(4,1);
dy(1) = y(3);
dy(2) = y(4);
dy(3) = -0.5*y(1)-y(2)+0.5*y(3)+y(4); % 原文此处有小错
dy(4) = -0.5*y(1)+0.5*y(3)+1;
带有初识条件 x1(0) = 9, x2(0)=7,x1'(0)=5,x2'(0)=3,时间范围是 t=0到t=5，解决这个系统的命令如下：
tspan = [0 5];
x_init = [ 9; 7; 5; 3];
[t,x] = ode45(@matrixode,tspan,x_init);
将x（2）的值用红色画出，x2'(t)的值用绿色画出，采用的命令如下：
plot(t,x(:,2),'r-',t,x(:,4),'g-');
绘出图形如下页所示。
补充实例：
%------------------------------------------------------------------------
% 根据方程组写微分方程如下:
%
function dudt=changode(t,u)
dudt=zeros(6,1);
dudt(1)=u(4);
dudt(2)=u(5);
dudt(3)=u(6);
dudt(4)=-2*u(1)-u(2)-u(4)+3*sin(t);
dudt(5)=0.5*u(1)-u(2)+0.5*u(4)-0.5*u(6)+sin(t);
dudt(6)=(1/3)*(-4*u(3)-u(5))+2*sin(t);
dudt=dudt(
;
％――――――――――――――――――――――――――――――――――
调用ode45求解该方程组，并画出结果图：
function changpingpin
u0=[-1;-3;-2;1;2;3];
tspan=[0 20];
[t,u]=ode45(@changode,tspan,u0);
plot(t,u(:,1),t,u(:,2),t,u(:,3));
legend('u(1)','u(2)','u(3)');
xlabel('t');
ylabel('u');
结果图：
